Polígono

Linhas poligonais e polígonos

Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em:

Linha poligonal aberta simples

Linha poligonal aberta não-simples

Polígono é uma superfície plana limitada por linhas rectas (lados). Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Um polígono estrelado é uma linha poligonal fechada não-simples com propriedades especiais.

Elementos de um polígono

Um polígono possui os seguintes elementos:

— Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos:

, ,,,.

— Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos:

 $A$ ,  $B$ ,  $C$ ,  $D$ ,  $E$ .

— Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos:
$\overline{A C}\$ , $\overline{A D}\$ , $\overline{B D}\$ , $\overline{B E}\$ , $\overline{C E}\$ .
— Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos:

,,,,

— Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo:

,,,,.

Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Número de lados	Polígono


3	triângulo
4	quadrilátero
5	pentágono
6	hexágono
7	heptágono
8	octágono
9	eneágono
10	decágono
11	undecágono
12	dodecágono
13	tridecágono
14	tetradecágono
15	pentadecágono
16	hexadecágono
17	heptadecágono
18	octodecágono
19	eneadecágono
20	icoságono
25	pentacoságono
30	triacontágono
40	tetracontágono
50	pentacontágono
60	hexacontágono
70	heptacontágono
80	octacontágono
90	eneacontágono
100	hectágono
1000	quilógono
1.000.000	megágono
10⁹	gigágono
10¹⁰⁰	googólgono

Nomeando polígonos

Para se construir o nome de um polígono com mais de 20 lados e menos de 100 lados, basta se combinar os prefixos e os sufixos a seguir:

Dezenas		e	Unidades		sufixo
Dezenas		-kai-	1	hena-	-gono
20	icosi-		2	-di-
30	triaconta-		3	-tri-
40	tetraconta-		4	-tetra-
50	pentaconta-		5	-penta-
60	hexaconta-		6	-hexa-
70	heptaconta-		7	-hepta-
80	octaconta-		8	-octa-
90	enneaconta-		9	-enea-

Assim, um polígono de 42 lados deve ser nomeado da seguinte maneira:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
tetraconta-	-kai-	-di-	-gono	tetracontakaidigono

e um polígono de 50 lados da seguinte forma:

Dezenas	e	Unidades	sufixo	nome completo do polígono
pentaconta-			-gono	pentacontagono

Classificação dos polígonos

A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:

Polígono
                                     /       \
                                 Simples     Complexo
                                /     \
                           Convexo     Côncavo
                            /     \ Não-Convexos

Inscritível
                       /    
                  Regular

Propriedades dos polígonos convexos

O número de vértices é igual ao número de lados.
De cada vértice de um polígono de $n$ lados, saem $n - 3$ diagonais ( $d v$ ).
O número de diagonais ( $d$ ) de um polígono é dado por $d = \frac{n(n-3)}{2}$ , onde $n$ é o número de lados do polígono.
A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de $n$ lados ( $S i$ ) é dada por $(n-2). 180^\circ$ .
A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de $n$ lados ( $S e$ ) é igual a $360^\circ$ .
Em um polígono convexo de $n$ lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vértice é dado por $n - 2$ .
A medida do ângulo interno de um polígono regular de $n$ lados ( $a i$ ) é dada por $\frac{(n-2). 180^\circ}{n}$ .
A medida do ângulo externo de um polígono regular de $n$ lados ( $a e$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}$ .
A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de $n$ lados ( $S c$ ) é igual a $360^\circ$ .
A medida do ângulo central de um polígono regular de $n$ lados ( $a c$ ) é dada por $\frac{360^\circ}{n}$ .

Outros polígonos

Alguns polígonos são diferente dos outros, por apresentarem lados cruzados, são eles:

Estrelado

Ver artigo principal: Polígono estrelado

Polígono formado por corda e ângulos iguais. Pode ser:

Falso: Pela sobreposição de Polígonos
Verdadeiro: Formado por linhas poligonais fechadas não-simples

Entrecruzado

Polígono, cujo prolongamento dos lados, ajudam a formar outro polígono.

Ângulos de um Polígono Regular

Polígono Regular: É o polígono que possui todos os lados congruentes e todos os ângulos internos congruentes.
Para um polígono de n lados, temos que a soma dos ângulos internos (S¡) = $(n - 2)\times 180^o\,$
Exemplos: Hexágono Regular: 6 lados Cálculo da Soma das medidas dos ângulos internos: S¡ = (6-2) . 180° = 4.180° = 720°
Como o Hexágono é regular: A¡ = 720º/6 = 120° Ae = 180º - 120º = 60°
O ângulo interno mede 120° e o externo, 60°.

Polígono regular

Um polígono diz-se regular se tiver todos os seus lados e ângulos iguais.

Triângulo equilátero
Quadrado
Pentágono regular
Hexágono regular
Heptágono regular
Octógono regular
Eneágono regular
Decágono regular

[editar] Formulário

Para um polígono regular de $n$ lados, e medida de lado $l$ :

[editar] Soma dos Ângulos Internos (S_i)

A soma dos ângulos internos de um polígono convexo regular pode ser calculada dividindo-se a figura com segmentos que ligam um vértice definido a cada um dos outros. O polígono será dividido em

n - 2

triângulos, cada um com ângulo interno de 180° ou π radianos. Somando, encontra-se

S i

$S_i={(n-2) \times 180^\circ}$

ou, em radianos,

S i = (n - 2)π

[editar] Ângulos Internos (A_i)

Um ângulo interno é aquele formado entre dois lados consecutivos. Num polígono regular, sendo todos os ângulos congruentes, pode ser obtido dividindo-se a soma dos ângulos internos pelo número de lados.

$A_i = \frac{S_i}{n} = \frac{(n-2) \times 180^\circ}{n}$

ou, em radianos,

$A_i=\frac{(n-2) \pi}{n}$

[editar] Ângulos Externos (A_e)

São os suplementos dos ângulos internos:

$A_e=180^\circ - A_i = {360^\circ \over n}$

ou, em radianos:

$A_e={2\pi \over n}$

Note-se que a soma dos ângulos externos em qualquer polígono regular é sempre 360º.

[editar] Raio (r)

Distância do vértice do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência cincunscrita ao polígono.

$r={l \over 2 .cos(A_i/2)}$

$r={l \over 2 .sen(\pi/n)}={l \over 2 .sen(180^\circ/n)}$

[editar] Apótema (a)

Distância perpendicular de um dos lados do polígono até o seu centro. Também é o raio de uma circunferência inscrita no polígono.

$a={\sqrt{r^2 - l^2/4}}$

$a={r .sen(A_i/2)}\,\;$

$a={r .cos(\pi/n)}={r .cos(180^\circ/n)}$

$a={l .tan(A_i/2) \over 2}$

$a={l \over 2 .tan(\pi/n)}={l \over 2 .tan(180^\circ/n)}$

[editar] Altura (h)

Em um polígono com número par de lados, é a distância perpendicular entre 2 lados opostos. Já em um polígono com número ímpar de lados, é a distância perpendicular entre um lado e seu vértice oposto.

Se n é par:

$h={2 .a}\,\;$

Se n é ímpar:

$h={r + a}\,\;$

No triângulo equilátero inscrito numa circunferência, no entanto, pode-se afirmar que:

$h={3 .a}\,\;$

[editar] Diagonais (d)

Distância entre 2 vértices não-consecutivos do polígono (ou seja, as fórmulas referentes a diagonais não se aplicam a triângulos). Fórmula:

n (n - 3) / 2

[editar] Diagonal principal (d_p)

Distância entre 2 vértices opostos do polígono. Só existe caso o polígono tenha um número par de lados.

Se n é par:

$d_p={2 .r}\,\;$

[editar] Maior diagonal (d+)

Maior distância entre 2 vértices do polígono. Em um polígono com número par de lados é a diagonal principal.

Se n é ímpar e maior que 3:

$d+={h \over sen[\frac{A_i .(n-1)}{2 .(n-2)}]}$

[editar] Menor diagonal (d-)

Menor distância entre 2 vértices do polígono.

Para n maior que 3:

$d-={l .sen(A_i) \over sen[\frac{A_i}{(n-2)}]}$

[editar] Número de diagonais (Nd)

$Nd={n .(n-3) \over 2}$

[editar] Número de diagonais de um UNICO VÉRTICE

O número de diagonais que se pode obter de um vértice é

N D = (n - 3)

[editar] Perímetro (2P)

Soma da medida dos lados.

$P={n .l}\,\;$

[editar] Semiperímetro (p)

Semiperímetro é a medida da metade do perímetro de uma figura geométrica

$p={n .l \over 2}$

[editar] Área (A)

Superfície ocupada pelo polígono.

$A=\frac{n.l^2}{4 .tan(\pi/n)}=\frac{n.l^2}{4 .tan(180^\circ/n)}$

$A={n .l .a \over 2}$

A = p . a

[editar] Circunferência circunscrita

Circunferência que tangencia todos os vértices do polígono, ficando externa a ele.

[editar] Perímetro (P_circ)

$P_{circ}={2 .\pi .r}\,\;$

$P_{circ}={\pi .l \over sen(\pi/n)}={\pi .l \over sen(180^\circ /n)}$

[editar] Área (A_circ)

$A_{circ}={\pi .r^2}\,\;$

$A_{circ}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 4 .sen^2(180^\circ /n)}$

[editar] Circunferência Inscrita

Circunferência que tangencia todas as arestas do polígono, ficando interna a ele.

[editar] Perímetro (P_ins)

$P_{ins}={2 .\pi .a}\,\;$

$P_{ins}={\pi .l \over tan(\pi/n)}={\pi .l \over tan(180^\circ /n)}$

[editar] Área (A_ins)

$A_{ins}={\pi .a^2}\,\;$

$A_{ins}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(\pi/n)}={\pi .l^2 \over 2 .tan^2(180^\circ /n)}$

A diferença entre as áreas das circunferências circunscrita e inscrita pode ser expressa por:

$\Delta A_{\circ}=A_{circ} -A_{ins}={\pi .l^2 \over 4}$

Professor Marcos Venícios

quinta-feira, 8 de setembro de 2011

Formas Geométricas

Polígono

Linhas poligonais e polígonos

Elementos de um polígono

Classificação dos polígonos quanto ao número de lados

Nomeando polígonos

Classificação dos polígonos

Propriedades dos polígonos convexos

Outros polígonos

Estrelado

Entrecruzado

Ângulos de um Polígono Regular

Polígono regular

Índice

[editar] Formulário

[editar] Soma dos Ângulos Internos (S_i)

[editar] Ângulos Internos (A_i)

[editar] Ângulos Externos (A_e)

[editar] Raio (r)

[editar] Apótema (a)

[editar] Altura (h)

[editar] Diagonais (d)

[editar] Diagonal principal (d_p)

[editar] Maior diagonal (d+)

[editar] Menor diagonal (d-)

[editar] Número de diagonais (Nd)

[editar] Número de diagonais de um UNICO VÉRTICE

[editar] Perímetro (2P)

[editar] Semiperímetro (p)

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[editar] Circunferência circunscrita

[editar] Perímetro (P_circ)

[editar] Área (A_circ)

[editar] Circunferência Inscrita

[editar] Perímetro (P_ins)

[editar] Área (A_ins)

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[editar] Ângulos Internos (Ai)

[editar] Ângulos Externos (Ae)

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[editar] Apótema (a)

[editar] Altura (h)

[editar] Diagonais (d)

[editar] Diagonal principal (dp)

[editar] Maior diagonal (d+)

[editar] Menor diagonal (d-)

[editar] Número de diagonais (Nd)

[editar] Número de diagonais de um UNICO VÉRTICE

[editar] Perímetro (2P)

[editar] Semiperímetro (p)

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